Навіть прості правила більярдного столу можуть виконувати складні обчислення
Для Міранди це результат багаторічної роботи, спрямованої на спрощення механічної системи до мінімальної кількості компонентів, необхідних для функціонування як комп’ютер. “Яке мінімальне геометричне механізм дозволяє фізичній системі здійснювати універсальні обчислення, і як ми можемо це виявити?” – запитує вона. “Більярд є найвибагливішим тестом у цьому процесі спрощення. Одна частинка. Уся програма записана в геометрії меж”.
Машина Тюрінга – це не стільки машина у звичному розумінні, скільки математична модель обчислень, розроблена британським математиком Аланом Тюрінгом у 1936 році. У найпростішому вигляді вона складається з умовної стрічки, розділеної на комірки, головки, яка може читати та записувати символи на цій стрічці, та набору інструкцій, що визначають подальші дії. Кожна окрема операція є надзвичайно простою: прочитати символ, записати символ, переміститися вздовж стрічки, повторити. Універсальна машина Тюрінга виводить це на новий рівень: вона може симулювати будь-яку іншу машину Тюрінга, що означає, що вона, в принципі, здатна виконувати будь-які обчислення, які можна виразити як алгоритм.
Міранда та Рамос знайшли спосіб відтворити функцію машини Тюрінга, використовуючи лише геометрію та кулю, що відскакує. У їхньому математичному “більярді” – так вони називають свою систему – позиція кулі може кодувати інформацію, тоді як ретельно розроблена форма бортів визначає, що станеться з цією інформацією далі. Коли куля переміщується з однієї частини більярду до іншої, її траєкторія просуває обчислення, подібно до того, як машина Тюрінга проходить через свої інструкції крок за кроком.
Однак, хоча більярдний стіл можна перетворити на універсальний комп’ютер, це не означає, що передаються лише корисні компоненти. Більярд також успадковує обмеження. Одне з них – це головоломка, відома як проблема зупинки. Уявіть, що комп’ютеру ставлять завдання визначити, чи програма зрештою завершить роботу, чи просто працюватиме вічно. У кожному конкретному випадку це цілком досяжно – як оновлення вашої операційної системи, що встановлюються, або завершення конвертації файлу. Але Тюрінг довів, що жоден універсальний алгоритм не може надійно відповісти на це запитання для кожної можливої програми та вхідних даних. Попередні дослідження показали, що це фундаментальне обмеження може бути відтворене у фізичних системах, що включають декілька куль. Більярд Міранди та Рамоса демонструє, що це може бути відтворено в русі однієї кулі.
Щоб продемонструвати це, дослідники розробили свій більярд таким чином, щоб обчислення, яке досягає стану зупинки, відповідало удару кулі об борт під кутом 90 градусів, що повертає її по шляху, яким вона прийшла. Якщо обчислення ніколи не зупиняється, траєкторія кулі ніколи не повторюється. Але якби алгоритм міг визначити, чи вона зрештою повториться, він був би здатний вирішити проблему зупинки – що, як показав Тюрінг, неможливо.
“Хаос створює бар’єр точності; невизначеність створює логічний бар’єр”, – каже Міранда. “Навіть якщо ми точно знаємо рівняння та початкові дані, може не існувати алгоритму, який визначає, чи траєкторія коли-небудь потрапить у задану область. Це не означає, що кожна окрема траєкторія є таємничою. У багатьох конкретних випадках ми отримаємо відповідь. Неможливим є універсальний метод, який вирішує всі випадки”.
Існують вагомі причини, чому ніхто не замінить кремній на більярдні кулі. Конструкція є ідеалізованою математичною, що базується на інформації, закодованій у все дрібніших масштабах, які неможливо було б відтворити з необмеженою точністю на фізичному столі. Але більярди такого роду – це не просто математичні дивовижі. Ці теоретичні структури корисні фізикам, оскільки проста траєкторія частинки, що відскакує від меж, може замінити більш складні фізичні системи, від зіткнень частинок у газі до систем, керованих сильними обмежувальними силами.
“Можна сказати, що це своєрідний каркас класичної механіки”, – зазначає Міранда. Цей каркас може навіть з’являтися в небесній механіці, особливо в математичних описах близьких взаємодій між гравітаційними тілами, включаючи варіації знаменитої складної задачі трьох тіл. Це не означає, що Міранда та Рамос довели, що сама задача трьох тіл є нерозв’язною. Натомість, їхня робота ставить питання, чи можуть ті ж обчислювальні обмеження з’явитися в більш реалістичних гравітаційних системах, додаючи невизначеність до хаосу як ще один фундаментальний бар’єр для передбачення.